Ang tinuod nga mga numero ug ang ilang mga kabtangan

Pythagoras nag-angkon nga ang gidaghanon mao ang pundasyon sa kalibutan sa usa ka ginikanan uban sa mga mayor nga mga elemento. Plato nagtuo nga ang gidaghanon sa mga sumpay sa mga panghitabo ug sa noumenon, pagtabang nga masayud, sa pagatimbangon ug aron sa pagkalos konklusyon. Aritmetik moabut gikan sa pulong nga "arifmos" - ang gidaghanon, ang punto sa pagsugod sa matematika. Kini mao ang posible nga sa paghulagway sa bisan unsa nga butang - gikan sa elementarya ngadto sa apple abstract luna.

Nagkinahanglan ingon sa usa ka butang development

Sa inisyal nga hugna sa pagpalambo sa katilingban sa mga panginahanglan sa mga tawo nga napugos sa sa panginahanglan sa pagbantay sa score - .. Usa ka bag sa trigo, ang duha ka lugas nga bag, ug uban pa Sa pagbuhat niini, kini natural nga numero, ang hugpong sa nga mao ang usa ka walay katapusan nga han-ay sa mga positibo nga integers N.

Sa ulahi, ang kalamboan sa matematika ingon sa usa ka siyensiya, kini gikinahanglan sa piho nga natad sa integers Z - kini naglakip sa negatibo nga mga hiyas ug zero. Ang iyang panagway sa domestic nga lebel, kini naghagit sa kamatuoran nga ang mga inisyal nga accounting nga daw-ayo sa mga utang ug mga mga pagkawala. Sa usa ka siyentipikanhong nga lebel, negatibo nga mga numero gihimo kini nga posible nga sa pagsulbad sa yano nga linear pagbalanse. Lakip sa ubang mga butang, kini mao ang karon nga posible nga sa larawan sa usa ka gamayng coordinate sistema, ie. A. Adunay usa ka punto sa pakisayran.

Ang sunod nga lakang mao ang panginahanglan sa pagsulod sa fractional numero, tungod kay ang siyensiya dili maglihok, labaw pa ug mas bag-ong mga kaplag nangayo sa usa ka theoretical basehan alang sa usa ka bag-o nga madayon pagtubo. Busa may usa ka uma sa pangatarungan numero P.

Sa kataposan, wala na sa pagsugat sa mga gipangayo sa rationality, tungod kay ang tanan nga bag-ong mga kaplag nagkinahanglan pagkamatarung. Adunay mga sa usa ka uma sa tinuod nga numero R, ang mga buhat ni Euclid incommensurability sa pipila ka natapok tungod sa ilang irrationality. Nga mao, ang karaang Gregong matematiko posisyon sa dili lamang sa gidaghanon sa ingon nga usa ka kanunay, apan ingon sa usa ka abstract bili nga gihulagway pinaagi sa ratio sa incommensurable magnitudes. Tungod sa sa kamatuoran nga adunay mga tinuod nga mga numero, "among nakita nga ang kahayag" mga prinsipyo sama sa "pi" ug "e", nga walay nga modernong matematika dili gikuha dapit.

Ang katapusan nga kabag-ohan mao ang usa ka komplikado nga gidaghanon C. Kini mitubag sa usa ka serye sa mga pangutana ug misupak kaniadto misulod postulates. Tungod sa sa paspas nga paglambo sa algebra resulta mao ang matag-an - uban sa tinuod nga mga numero, ang desisyon sa daghang mga problema mao ang dili mahimo. Pananglitan, pasalamat ngadto sa komplikado nga mga numero mitindog sa hilo teoriya ug kagubot gipalapdan pagbalanse sa mga hydrodynamics.

Ibutang Teorya. cantor

Ang konsepto sa infinity kanunay hinungdan sa kontrobersiya, ingon nga kini imposible sa pagpamatuod sa o sayop. Sa konteksto sa matematika, nga gipalihok hugot nga matuoron ang postulates, kini gipadayag sa iyang kaugalingon sa labing klaro, ang mga labaw pa nga sa theological nga bahin gihapon gitimbang sa siyensiya.

Apan, pinaagi sa buhat sa matematiko Georg Cantor sa tanang panahon nahulog sa dapit. Siya gipamatud-an nga ang mga walay kinutuban sets adunay usa ka walay katapusan nga set, ug nga ang uma R labaw pa kay sa uma A, himoa nga silang duha ug walay katapusan. Sa tunga-tunga sa XIX siglo, ang iyang mga ideya sa publiko gitawag pulos ug sa usa ka krimen batok sa klasikal nga dili mausab canons, apan ang panahon igabutang sa tanan nga diha sa iyang dapit.

Basic kabtangan sa kapatagan R

Aktwal nga mga numero dili lang sa mga sama nga kabtangan sama sa podmozhestva nga naglakip sila, apan inabagan sa ubang masshabnosti pinaagi sa hiyas sa mga elemento niini:

• Zero R. anaa ug iya sa uma c + = c 0 alang sa bisan unsa nga c sa R.
• Zero anaa ug iya sa kapatagan R. c x 0 = 0 alang sa bisan unsa nga c sa R.
• Ang ratio c: d sa diha nga d ≠ 0 anaa ug mao ang balido alang sa bisan unsa nga c, d sa R.
• Field R nagmando, pananglitan kon c ≤ d, d ≤ c, nan c = d alang sa bisan unsa nga c, d sa R.
• Dugang pa sa uma R mao ang commutative, pananglitan c + d = d + c, alang sa bisan unsa c, d sa R.
• Multiplication sa kapatagan R mao ang commutative, pananglitan x c x d = d c alang sa tanan nga c, d sa R.
• Dugang pa sa uma R mao ang nakig uban pananglitan (c + d) + f = c + (d + f) alang sa bisan unsa nga c, d, e sa R.
• Multiplication sa kapatagan R mao ang nakig uban pananglitan (c x d) x f = c x (d x f) alang sa bisan unsa nga c, d, e sa R.
• Kay ang matag gidaghanon sa mga kapatagan R atbang niini didto, sama nga ang c + (-c) = 0, diin c, -c gikan sa R.
• Kay ang matag gidaghanon sa mga kapatagan R anaa sa iyang balion, sama nga c x c ^-1 = 1 diin c, c ^-1 sa R.
• Unit anaa ug iya sa R, sa pagkaagi nga ang c x 1 = c, alang sa bisan unsa nga c sa R.
• Kini adunay gahum sa balaod-apod-apod, sa pagkaagi nga c x (d + f) = c x d + c x f, alang sa bisan unsa nga c, d, e sa R.
• Ang R uma mao ang zero dili katumbas sa panaghiusa.
• Field R mao ang Transitive: kon c ≤ d, d ≤ f, unya c ≤ f alang sa bisan unsa nga c, d, e sa R.
• Sa R ug dugang aron konektado: kon c ≤ d, unya c + f ≤ d + f alang sa tanan nga c, d, e sa R.
• Sa han-ay sa R ug pagdaghan nalambigit: kon 0 ≤ c, 0 ≤ d, unya 0 ≤ c x d alang sa bisan unsa nga c, d sa R.
• Ingon nga negatibo ug positibo nga tinuod nga mga numero mao ang padayon nga, pananglitan, alang sa bisan unsa nga c, d sa R f, adunay gikan sa R, nga c ≤ f ≤ d.

uma Module R

Ang tinuod nga mga numero naglakip sa sa maong butang sama sa usa ka module. Gitudlo kini nga ingon sa | e | kay sa bisan unsa nga f sa R. | e | = F, kon 0 ≤ f ug | f | = -f, kon 0> f. Kon atong ikonsiderar ang module nga ingon sa usa ka geometric bili, kini mao ang usa ka gilay-on - kini dili igsapayan, "milabay" kamo ingon nga zero sa negatibo nga sa positibo o sa unahan.

Complex ug tinuod nga mga numero. Unsa ang mga kaamgiran ug mga kalainan?

Pinaagi sa ug dako, complex ug tinuod nga mga numero - sila sa usa ug sa mao usab nga, gawas nga ang unang miapil sa hinanduraw nga yunit ko, sa square sa nga mao ang katumbas sa -1. Mga elemento nga linya R ug C mahimong girepresentahan sa mosunod nga pormula:

• c = d + f x i, diin d, f iya sa kapatagan R, ug i - hinanduraw yunit.

Aron sa pagkuha sa mga c sa R f sa niini nga kaso lamang Nagtuo nga mahimong zero, ie, adunay usa lamang ang tinuod nga bahin sa gidaghanon. Tungod kay sa kapatagan sa komplikado nga mga numero adunay sama nga bahin gibutang ingon nga ang mga uma sa tinuod, f x ko = 0 kon e = 0.

Kalabot praktikal nga mga kalainan, alang sa panig-ingnan sa kapatagan R quadratic equation dili masulbad kon ang discriminant mao ang negatibo, samtang ang P kahon dili magpahamtang niini nga limitasyon pinaagi sa pagpaila sa mga hinanduraw nga yunit i.

resulta

"Tisa" sa axioms ug postulates nga sa base matematika, dili mag-usab. Sa pipila kanila tungod sa mga abut sa impormasyon ug sa pasiuna sa bag-o nga mga teoriya nga gibutang sa mosunod nga "tisa", nga sa umaabot mahimong ang basehan alang sa sunod nga lakang. Pananglitan, natural nga mga numero, bisan pa sa kamatuoran nga sila usa ka subset sa tinuod nga kapatagan R, dili mawad-an sa iyang kamahinungdanon. Kini mao ang sa kanila sa basehanan sa tanan nga elementary aritmetik, nga nagsugod sa kahibalo sa usa ka tawo sa pakigdait.

Gikan sa usa ka praktikal nga punto sa panglantaw, ang tinuod nga mga numero tan-awon sama sa usa ka tul-id nga linya. Kini mao ang posible nga sa pagpili sa usa ka direksyon, sa pag-ila sa mga gigikanan ug tono. Direct naglangkob sa usa ka walay katapusan nga gidaghanon sa mga puntos, matag usa sa nga katumbas sa usa ka ka tinuod nga gidaghanon, sa walay pagtagad sa ba o dili sa pangatarungan. Gikan sa paghulagway kini mao ang tin-aw nga kita sa paghisgot mahitungod sa konsepto, nga nakabase sa matematika sa kinatibuk-an, ug sa matematika analysis sa partikular.