Ang walay tino integral. Pagkwenta sa walay tino integrals

Usa sa mga sukaranan nga mga seksyon sa matematika nga pagtuki mao ang integral calculus. Kini naglangkob sa usa ka kaayo nga halapad nga uma sa mga butang, diin ang unang - kini mao ang walay tino integral. Posisyon kini nagbarug ingon nga usa ka yawe nga anaa pa sa high school nagpadayag sa usa ka pagdugang sa gidaghanon sa mga palaaboton ug mga kahigayunan, nga naghulagway sa mas taas nga matematika.

panagway

Sa unang tan-aw, daw gayud integral sa modernong, topical, apan diha sa buhat kini turns nga siya mibalik sa 1800 BC. Home sa opisyal nga giisip sa Egipto ingon nga wala makab-ot kanato sa sayo pa nga ebidensya sa iyang kinabuhi. Kini tungod sa kakulang sa impormasyon, sa tanang panahon samtang posisyon lamang sa ingon nga sa usa ka panghitabo. Siya sa makausa pag-usab nagpamatuod sa ang-ang sa siyentipikanhong kalamboan sa mga katawohan sa mga panahon. Sa katapusan, ang mga buhat nakaplagan sa karaang Grego matematiko, sukad pa sa ika-4 nga siglo BC. paghulagway nila ang pamaagi nga gigamit diin ang walay tino integral, ang diwa sa nga mao ang sa pagpangita sa gidaghanon o sa dapit sa usa ka curvilinear porma (tulo ka-dimensional ug duha ka-dimensional eroplano, sa tinagsa). kalkulasyon nga base sa prinsipyo sa division sa orihinal nga numero sa labihan nga sangkap, nga gihatag nga ang gidaghanon (dapit) na nga nailhan sa kanila. Paglabay sa panahon, ang pamaagi mitubo, Archimedes gigamit kini aron sa pagpangita sa dapit sa usa ka parabola. Susamang mga kalkulasyon sa mao nga panahon sa pagpahigayon og pagbansay-bansay sa karaang Tsina, diin sila bug-os nga independente gikan sa Griego nga mga kauban sa siyensiya.

kalamboan

Ang sunod nga breakthrough sa XI nga siglo sa atong panahon nahimong usa ka Arabo nga eskolar buhat "station karomata" Abu Ali al-Basri, nga giduso sa mga utlanan sa mga na nga nailhan, nga nakuha gikan sa mga integral pormula alang sa pagkalkulo sa mga kantidad sa mga kantidad ug degrees gikan sa una ngadto sa ikaupat, ang pagpadapat sa alang niini nga nailhan sa kanato pagpasulud, pagpalingkod pamaagi.
Hunahuna sa karon gidayeg sa karaang mga Ehiptohanon nagbuhat sa katingalahang mga monumento nga walay bisan unsa nga espesyal nga mga himan, gawas nga sa ilang kaugalingon nga mga kamot, apan ang dili usa ka gahum buang siyentipiko sa panahon dili kaayo sa usa ka milagro? Kon itandi sa sa kasamtangan nga panahon sa ilang mga kinabuhi daw halos karaang, apan ang desisyon sa walay tino integrals nasubay bisan asa ug nga gigamit diha sa buhat alang sa dugang kalamboan.

Ang sunod nga lakang nahitabo sa XVI siglo, sa dihang ang Italyano nga matematiko Cavalieri gidala mabulag nga pamaagi, nga namunit Per Ferma. Kining duha ka personalidad sa pundasyon alang sa mga modernong integral calculus, nga nailhan sa panahon. Sila gihigot sa mga konsepto sa panagbahin ug integration, nga kaniadto makita nga ingon sa-sa-kaugalingon nga anaa mga yunit. Pinaagi sa ug dako, sa mga matematika sa panahon nga nagkabahinbahin partikulo kaplag anaa sa sa ilang mga kaugalingon, uban sa limitado nga paggamit. Dalan sa paghiusa ug makakaplag komon nga yuta mao lamang ang tinuod nga sa higayon, salamat sa kaniya, ang modernong matematika pagtuki adunay oportunidad sa pagtubo ug pagpalambo sa.

Uban sa paglabay sa panahon usab sa tanan nga mga butang ug sa integral simbolo ingon man. Pinaagi sa ug dako, kini gitudlo siyentipiko nga diha sa iyang kaugalingon nga paagi, alang sa panig-ingnan, Newton gigamit sa usa ka square icon, nga ang usa ka integrable function, o sa yano gibutang sa tingub. kalainan Kini milungtad hangtod sa XVII siglo, sa diha nga ang usa ka mohon sa yuta alang sa bug-os nga teoriya sa matematika pagtuki siyentista Gotfrid Leybnits gipaila ingon nga usa ka kinaiya nga pamilyar kanato. Elongated "S" mao ang tinuod nga base sa niini nga sulat sa mga Romano nga alpabeto, tungod kay nagpasabot sa igo nga gidaghanon sa primitives. Ang ngalan sa integral nga nakuha pasalamat ngadto sa Jakob Bernoulli, human sa 15 ka tuig.

Ang pormal nga kahulugan

Ang walay tino integral agad sa kahulogan sa mga karaang, mao nga atong tagdon kini sa unang dapit.

Antiderivative - mao ang balion function sa gikopya nga, diha sa buhat kini gitawag nga karaang. Kay kon dili: karaang function sa d - mao ang usa ka function D, nga mao ang sa gikopya nga v <=> V '= v. Search karaang mao ang kuwentahon ang walay tino integral, ug ang proseso sa iyang kaugalingon mao ang gitawag nga integration.

nga panig-ingnan:

Ang function ni (y) = y ^3, ug ang iyang karaang S (y) = (y ^4/4).

Ang set sa tanan nga primitives sa function - kini mao ang usa ka walay tino integral, nagtumong kini ingon sa mosunod: ∫v (x) DX.

Pinaagi sa hiyas sa kamatuoran nga V (x) - mao ang lamang sa pipila karaang orihinal nga function, ekspresyon naghupot: ∫v (x) DX = V (x) + C, diin C - kanunay. Ubos sa arbitraryong kanunay nagtumong sa sa bisan unsa nga kanunay, kay sa iyang mga sa gikopya nga mao ang zero.

kabtangan

Ang mga kabtangan nga gipanag-iya sa walay tino integral, esensya base sa kahulogan ug sa kabtangan sa mga naggumikan.
Tagda ang yawe nga mga punto:

• integral nga naggikan sa mga karaang mao ang karaang iyang kaugalingon plus usa ka arbitraryong kanunay C <=> ∫V '(x) DX = V (x) + C;
• nga naggikan sa mga importante nga sa usa ka function mao ang orihinal nga function <=> (∫v (x) DX) '= v (x);
• kanunay gikuha gikan sa ilalum sa integral ilhanan <=> ∫kv (x) DX = k∫v (x) DX, diin k - ang arbitraryong;
• integral, nga gikuha gikan sa isip sa gidaghanon sa mga identically nga sama sa kantidad sa integrals <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Ang katapusan nga duha ka mga kabtangan mahimong nakahinapos nga ang walay tino integral mao linear. Tungod niini, kita adunay: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Sa tan-awa ang panig-ingnan sa ayo solusyon walay tino integrals.

Kamo kinahanglan gayud nga makakaplag sa mahinungdanon nga ∫ (3sinx + 4cosx) DX:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Gikan sa panig-ingnan kita makaingon nga kamo wala masayud sa unsa nga paagi sa pagsulbad sa walay tino integrals? Lang makakaplag sa tanan nga mga primitives! Apan ang search alang sa mga baruganan nga gihisgutan sa ubos.

Pamaagi ug mga Ehemplo

Aron sa pagsulbad sa integral, nga kamo mahimo modangop sa mga mosunod nga mga pamaagi:

• andam sa pagpahimulos sa mga lamesa;
• sa paghiusa sa mga bahin;
• integrated pinaagi sa pag-ilis sa baryable;
• pagsumada sa ilalum sa mga ilhanan sa differential.

lamesa

Ang labing yano ug makalingaw nga paagi. Sa higayon nga, matematika analysis makapasigarbo na halapad lamesa, nga espelta sa nag-unang mga pormula sa walay tino integrals. Sa lain nga mga pulong, adunay mga templates nga nakuha sa kanimo ug sa imong mahimo lamang sa pagpahimulos sa kanila. Ania ang listahan sa mga nag-unang mga posisyon lamesa, nga mahimo nga gipakita sa halos tanang higayon, adunay usa ka solusyon:

• ∫0dy = C, diin P - kanunay;
• ∫dy = y + C, diin P - kanunay;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, diin C - sa usa ka makanunayon, ug n - gidaghanon sa lain-laing gikan sa panaghiusa;
• ∫ (1 / y) dy = LN | y | + C, diin P - kanunay;
• ^{∫e y dy = e y + C} , diin P - kanunay;
• ^{∫k y dy = (k y /} LN k) + C, diin P - kanunay;
• ∫cosydy = siny + C, diin P - kanunay;
• ∫sinydy = -cosy + C, diin P - kanunay;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, diin P - kanunay;
• ∫dy / sala ² y = -ctgy + C, diin P - kanunay;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, diin P - kanunay;
• ∫chydy = maulawon + C, diin P - kanunay;
• ∫shydy = Chy + C, diin C - kanunay.

Kon gikinahanglan, paghimo sa usa ka magtiayon nga sa mga lakang sa paggiya integrand ngadto sa usa ka panglantaw tabular ug makatagamtam sa mga kadaugan. PANIG-INGNAN: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sala (5x - 2) + C.

Sumala sa desisyon nga kini mao ang tin-aw nga alang sa panig-ingnan sa usa ka lamesa integrand kulang multiplier 5. makadugang namo kini sa susama sa pagpadaghan niini pinaagi sa 1/5 sa kinatibuk-ang ekspresyon wala mausab.

Integration sa Bahin

Tagda ang duha ka gimbuhaton - z (y) ug x (y). kinahanglan sila nga padayon differentiable sa iyang domain. Sa usa ka kalainan kabtangan kita: d (xz) = xdz + zdx. Sa paghiusa sa duha ka kilid, kita: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => kababayen = ∫zdx + ∫xdz.

Liwaton ang resulta talaid, kita ang pormula, nga naghulagway sa pamaagi sa integration sa mga bahin: ∫zdx = kababayen - ∫xdz.

Ngano nga kini gikinahanglan? Ang kamatuoran nga ang pipila sa mga ehemplo nga kini mao ang posible nga sa simple, ang ni-ingon, sa pagpakunhod ∫zdx ∫xdz, kon sa ulahing mao ang duol sa porma tabular. Usab, kini nga pormula mahimong gamiton sa labaw pa kay sa makausa, alang sa kamalaumon mga resulta.

Sa unsa nga paagi sa pagsulbad sa walay tino integrals niini nga paagi:

• nga gikinahanglan sa kuwentahon ∫ (s + 1) e ^2s DS

∫ (x + ^{1) e 2s DS = {z =} s + 1, dz = DS, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} DS} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• kinahanglan nga kuwentahon ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = DS / s, y = s, dy = DS} = slns - ∫s x DS / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Ilis sa baryable

Kini nga baruganan sa pagsulbad sa walay tino integrals dili kaayo sa panginahanglan kay sa miaging duha ka, bisan komplikado. nga pamaagi mao ang sama sa mosunod: Himoa V (x) - ang importante nga sa pipila ka mga function v (x). Sa panghitabo nga sa iyang kaugalingon integral sa Panig-ingnan slozhnosochinenny moabut, mao ang lagmit sa pagkuha naglibog ug moadto sa sayop nga mga solusyon nga dalan. Aron sa paglikay sa niini nga batasan kausaban gikan sa baryable x sa z, diin sa kinatibuk-ang ekspresyon visually ginpasimple nga samtang pagmintinar sa z depende sa x.

Sa matematika termino, kini mao ang sama sa mosunod: ∫v (x) DX = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), diin x = y ( z) - ilis. Ug, siyempre, ang balion function z = y ^-1 (x) sa bug-os naghulagway sa relasyon ug sa relasyon sa baryable. Importante Mubo nga sulat sa - ang differential DX kinahanglan gipulihan sa usa ka bag-o nga differential dz, sukad sa kausaban sa baryable sa walay tino integral naglakip sa pagpuli niini sa bisan diin, dili lang sa integrand.

nga panig-ingnan:

• kinahanglan makakaplag ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) DS

Ibutang ang pagpuli z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Unya dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) DS <=> (s + 1) DS = dz / 2. Ingon sa usa ka resulta, ang mosunod nga ekspresyon, nga mao ang kaayo sayon nga kuwentahon:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• kamo kinahanglan gayud nga makakaplag sa mahinungdanon nga ∫2 ^s e ^s DX

Aron masulbad ang sulaton pag-usab sa mosunod nga porma:

^{∫2 s e ni DS = ∫ (} 2e) sa DS.

nagtumong sa kita pinaagi sa usa ka = 2e (puli sa argumento niini nga lakang mao ang dili, sa gihapon kini ni), kita sa paghatag sa atong daw komplikado integral sa nag-unang mga tabular porma:

^{∫ (2e) ni DS = ∫a} ni DS = usa ka s / lna + P = (2e) s / LN (2e) + C = 2 ^s e ^s / LN (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (ln2 + 1) + C.

Pagsumaryo sa usa ka differential ilhanan

Pinaagi sa ug dako, kini nga paagi sa walay tino integrals - ang kaluha nga igsoon sa baruganan sa kausaban sa baryable, apan adunay mga kalainan sa proseso sa registration. Atong hisgotan ang sa dugang nga detalye.

Kon ∫v (x) DX = V (x) + C ug y = z (x), nan ∫v (y) dy = V (y) + C.

Sa samang higayon kita kinahanglan nga dili kalimtan ang gamayng integral kausaban, sa taliwala sa nga:

• DX = d (x + sa usa ka), ug diin - sa matag kanunay;
• DX = (1 / sa usa ka) d (wasay + b), diin ang usa ka - sa kanunay nga pag-usab, apan dili zero;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Kon atong ikonsiderar ang kinatibuk-ang kaso diin kita kuwentahon ang walay tino integral, panig-ingnan mahimong gikinahanglan sa ilalum sa mga kinatibuk-ang pormula w '(x) DX = DW (x).

mga panig-ingnan:

• kinahanglan makakaplag ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + P = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

online tabang

Sa pipila ka mga kaso, ang mga sayop nga mahimo o pagkatapolan, o sa usa ka dinalian nga panginahanglan, kamo makahimo sa paggamit sa online-aghat, o hinoon, sa paggamit sa usa ka calculator walay tino integrals. Bisan pa sa dayag nga pagkakomplikado ug kontrobersyal nga kinaiya sa mga integrals, ang desisyon mao ang subject sa ilang piho nga algorithm, nga base sa prinsipyo sa "kon dili ... unya ...".

Siyempre, ang usa ka ilabi makuti nga mga ehemplo sa maong usa ka calculator dili master, ingon nga adunay mga kaso sa diin ang usa ka desisyon adunay sa pagpangita sa usa ka artipisyal nga "napugos" pinaagi sa pagpaila sa pipila ka mga elemento sa proseso, tungod kay ang mga resulta klaro nga mga paagi sa pagkab-ot. Bisan pa sa kontrobersyal nga kinaiya sa niini nga pamahayag, kini mao ang tinuod nga, ingon nga ang matematika, sa baruganan, sa usa ka abstract siyensiya, ug ang nag-unang tumong giisip sa panginahanglan sa paghatag ug gahom sa mga utlanan. Sa pagkatinuod, alang sa usa ka hapsay nga run-sa sa mga teoriya mao ang lisud kaayo sa paglihok ug evolve, mao nga dili maghunahuna nga ang mga panig-ingnan sa pagsulbad walay tino integrals, nga gihatag kanato - kini mao ang gitas-on sa mga oportunidad. Apan balik sa mga teknikal nga bahin sa mga butang. Sa labing gamay sa pagsusi sa mga kalkulasyon, kamo makahimo sa paggamit sa mga pag-alagad diin kini gisulat kanato. Kon adunay usa ka panginahanglan sa automatic kalkulasyon sa complex nga mga ekspresyon, nan dili sila kinahanglan nga modangop sa usa ka labaw nga seryoso nga software. Kinahanglan nga mobayad sa pagtagad sa panguna sa palibot MatLab.

aplikasyon

Ang desisyon sa walay tino integrals sa unang tan-aw daw mahingawaon sa gikan sa kamatuoran, tungod kay kini mao ang lisud nga sa pagtan-aw sa dayag nga paggamit sa eroplano. Sa pagkatinuod, direktang paggamit kanila bisan asa kamo dili mahimo, apan sila usa ka gikinahanglan nga intermediate nga elemento diha sa proseso sa pag-atras sa mga solusyon nga gigamit diha sa buhat. Busa, ang integration sa likod kalainan, sa ingon aktibo sa pag-apil diha sa proseso sa pagsulbad sa mga pagbalanse.
Sa baylo, kini nga mga pagbalanse adunay usa ka direkta nga epekto sa desisyon sa mekanikal nga problema, trajectory kalkulasyon ug sa kainit conductivity - sa mubo, ang tanan nga naglangkob sa karon ug sa paghulma sa umaabot. Walay tino integral, panig-ingnan nga atong nahisgotan sa ibabaw, walay hinungdan lamang sa unang tan-aw, ingon sa usa ka base sa pagtuman sa labaw pa ug mas bag-ong mga kaplag.