Fourier sunod-sunod nga: ang kasaysayan ug impluwensya sa matematika mekanismo alang sa kalamboan sa siyensiya

Fourier serye - kini nga panglantaw arbitraryo gipili gimbuhaton sa panahon sa usa ka talay. Sa kinatibuk-ang termino, nga solusyon niini nga mao ang gitawag nga pagpalapad elemento sa usa ka orthogonal basehan. Ang pagpalapad sa mga gimbuhaton sa Fourier serye mao na ang usa ka gamhanan nga himan alang sa pagsulbad sa mga nagkalain-laing mga problema tungod sa mga kabtangan sa mga kausaban diha sa integration, panagbahin, ingon man usab sa usa ka pagbalhin sa argumento ekspresyon ug convolution.

Ang usa ka tawo nga dili pamilyar sa mas taas nga matematika, ingon man sa mga buhat sa mga Pranses siyentista Fourier, lagmit dili makasabut kon unsa ang "ranggo" ug unsay ilang buhaton. Apan kini nga kausaban mao na lig-on nga misulod sa atong mga kinabuhi. Kini gigamit dili lamang sa matematika, apan usab sa pisiko, chemists, mga doktor, mga astronomo, seismologist, mga tigtuon sa kadagatan ug sa uban. Atong usab sa usa ka mas-aw sa mga buhat sa mga dako nga Pranses nga siyentipiko nga naghimo sa pagkadiskobre, sa unahan sa iyang panahon.

Ang tawo ug ang Fourier pagbag-o sa

Fourier serye mao ang usa sa mga pamaagi sa (uban sa pagtuki ug uban pa) sa Fourier pagbag-o sa. Kini nga proseso mahitabo sa matag higayon nga ang usa ka tawo makadungog sa bisan unsa nga tingog. Ang atong mga igdulungog awtomatikong kinabig sa tingog tinabyog. Oscillatory kalihukan sa elementary partikulo sa usa ka pagkamaunat-unat medium gipalapdan sa sunod-sunod nga (sa kolor) sunod-sunod nga mga prinsipyo gidaghanon alang sa tono sa lain-laing mga kahitas-an. Sunod, ang utok mga kinabig niini nga data ngadto sa pamilyar nga mga tingog alang kanato. Ang tanan nga kini mao ang sa dugang sa atong tinguha o sa panimuot sa iyang kaugalingon, apan aron sa pagsabut sa mga proseso nga sa pipila ka tuig sa pagtuon sa mas taas nga matematika.

Basaha ang dugang pa bahin sa mga Fourier pagbag-o sa

Ang Fourier pagbag-o sa mahimong gidala sa gawas analytical, numero ug uban pang mga pamaagi. Fourier serye nga mga numero nga proseso alang sa decomposing sa bisan unsa nga oscillatory proseso - gikan sa mga pagtaob sa dagat ug sa mga balud sa kahayag sa solar siklo (ug uban pang mga sa astronomiya butang) nga kalihokan. Pinaagi sa paggamit niini nga mga matematika teknik, kini mao ang posible nga sa disassemble sa function, nga nagrepresentar sa bisan unsa nga oscillatory proseso sa usa ka gidaghanon sa mga íkò components nga gikan sa minimum ngadto sa maximum ug vice versa. Ang Fourier pagbag-o sa usa ka function nga naghulagway sa mga bahin ug sa amplitude sa sinusoids katumbas sa usa ka partikular nga frequency. Kini nga proseso mahimong gamiton alang sa pagsulbad sa usa ka kaayo nga complex pagbalanse nga naghulagway sa dinamikong mga proseso nga nahitabo sa ilalum sa mga aksyon sa kainit, kahayag o electric enerhiya. Usab, ang Fourier sunod-sunod nga gigamit sa pag-ila DC components sa komplikado waveforms, naghimo niini nga posible nga sa husto nga paghubad sa eksperimento obserbasyon sa medisina, chemistry ug astronomiya.

sa kasaysayan nga impormasyon

Ang pagkatukod amahan sa teoriya kini mao ang Pranses nga matematiko Zhan Batist Zhozef Fure. Ang iyang ngalan sa ulahi ug kini nga kausaban nga gitawag. Sa sinugdan, ang mga siyentipiko nga gigamit sa usa ka teknik sa pagtuon ug pagpasabut sa mga mekanismo sa kainit conductivity - kainit pagpasanay sa mga solido. Fourier misugyot nga ang mga inisyal nga dili regular-apod-apod sa mga kainit nga halad mahimong decomposed ngadto sa yano nga sinusoid, sa matag usa sa nga adunay sa iyang temperatura minimum ug maximum, ingon man usab sa bahin niini. Mao kini ang matag maong component nga misukod gikan sa minimum ngadto sa maximum ug vice versa. Ang matematika function nga naghulagway sa ibabaw ug ubos nga mga taluktok sa kurba, ingon man ang bahin sa matag mahunihon, nga gitawag sa mga Fourier pagbag-o sa sa sa temperatura apod-apod sa ekspresyon. Ang tagsulat sa teoriya sa pagkunhod sa kinatibuk-ang function-apod-apod nga mao ang lisud nga sa matematika nga paghulagway, sa usa ka kaayo nga sayon sa pagdumala sa usa ka gidaghanon sa mga matag gimbuhaton sa sine ug sa cosine, sa kantidad sa paghatag sa inisyal nga-apod-apod.

Ang baruganan sa pagkakabig ug sa mga panglantaw sa mga katalirongan

Katalirongan sa siyentista - ang nag-unang mga matematiko sa unang ikanapulo ug siyam nga siglo - wala modawat niini nga teoriya. Ang nag-unang pagsupak mao ang pag-uyon sa Fourier nga ang discontinuous function nga naghulagway sa usa ka tul-id nga linya o kurba nakuniskunis, kini mahimong girepresentahan ingon sa usa ka igo nga gidaghanon sa íkò mga ekspresyon nga padayon. Ingon sa usa ka panig-ingnan, tagda ang usa ka "lakang" Heaviside: bili niini mao ang zero sa wala sa kal-ang ug ang usa diha sa too. function Kini naghulagway sa pagsalig sa koryente sa panahon baryable alang sa pagsira kadena. Bag-ong teoriya niadtong panahona, wala gayud nasugatan sa maong usa ka kahimtang, sa diha nga ang usa ka discontinuous ekspresyon nga gihulagway pinaagi sa usa ka kombinasyon sa padayon nga, komon nga mga gimbuhaton, sama sa exponential, sine, linear o quadratic.

Unsay nakahasol sa French matematiko sa teoriya sa Fourier?

Human sa tanan, kon ang usa ka matematiko ang katungod sa makiglalis, nan, gisumada sa usa ka walay katapusan nga trigonometric Fourier sunod-sunod nga, kini mao ang posible nga sa pag-angkon sa usa ka tukma nga representasyon sa lakang sa ekspresyon, bisan kon kini adunay usa ka hugpong sa susama nga mga lakang. Sa unang bahin sa ikanapulo ug siyam nga siglo, kini nga pamahayag daw binuang. Apan bisan pa sa tanan nga mga pagduha-duha, sa daghan nga mga matematiko ang gipalapdan sa kasangkaran sa mga pagtuon sa niini nga panghitabo, sa pagbalhin kini sa tabok sa kainit pagtuon sa conduction. Apan, ang kadaghanan sa mga siyentipiko nagpadayon sa pag-antus sa mga pangutana: "? Makahimo ang igo nga gidaghanon sa mga sine wave sunod-sunod nga converges sa eksaktong bili sa usa ka discontinuous function"

Convergence sa Fourier serye: panig-ingnan

Ang isyu sa convergence mobangon sa matag higayon nga gikinahanglan nimo ang kinatibuk-an sa usa ka walay katapusan nga serye sa mga numero. tagda ang usa ka classic nga ehemplo alang sa pagsabot sa niini nga panghitabo. Makahimo ka ba sa walay katapusan sa pagkab-ot sa kuta, kon ang matag lakang mao ang katunga sa miaging? Kon ikaw ang duha ka metros gikan sa tumong, ang unang lakang nga mas duol sa palibot sa tunga sa dalan, ang sunod nga - ang marka sa usa ka tulo-ka-dapit, ug sa human sa ikalima, kamo makabuntog sa halos 97 porsiyento sa dalan. Apan, bisan sa unsa nga paagi sa daghang mga lakang nga imong gibuhat dili, ang gituyo target pagkab-ot sa kamo sa usa ka higpit nga matematika diwa. Pinaagi sa paggamit sa numero kalkulasyon, kita mapamatud-an nga sa katapusan mahimo nga mas duol ngadto sa usa ka arbitraryong gamay nga gihatag gilay-on. Kini mao ang katumbas sa usa ka pamatuod nga nagpakita nga ang kinatibuk-ang bili sa usa sa katunga, usa ka ikaupat, ug sa ingon sa. E. Ang atiman sa panaghiusa.

Ang isyu sa convergence: ang ikaduhang pag-anhi, o instrumento sa Ginoo Kelvin

Sublisubli ang pangutana mibangon sa ulahing bahin sa ikanapulo ug siyam nga siglo, sa dihang ang Fourier serye naningkamot sa paggamit sa pagtagna sa intensity sa mga Mawala ug motunga. Niadtong panahona, Ginoo Kelvin naimbento device mao ang usa ka Analog computer nga nagtugot marinero panon sa mga sakayan ug negosyante marine monitor mao ang usa ka natural nga panghitabo. Kini nga mekanismo gihubit nga hugpong sa mga hugna, ug ang kadako sa gitas-on sa lamesa sa mga pagtaob-paghunas ug sa katugbang nga panahon nga mga higayon, pag-ayo gisukod sa dunggoanan sa tibuok tuig. Ang matag sukaranan mao ang usa ka íkò component ekspresyon tide mga kahitas-an ug ang usa sa mga regular nga mga components. Ang resulta sukod mao input sa Computing device Ginoo Kelvin, synthesizing kurba nga gitagna gitas-on sa tubig nga ingon sa usa ka function sa mosunod nga tuig. Sa dili madugay, kini nga mga kurba mga inibut nga alang sa tanan nga mga dunggoanan sa kalibutan.

Ug kong ang proseso pagabalion discontinuous function?

Niadtong panahona, kini daw klaro nga ang lalang pagtagna sa usa ka tidal wave, uban sa daghan nga mga elemento sa asoy mahimong kuwentahon nga usa ka dako nga gidaghanon sa mga hugna, ug ang kadako, ug sa ingon paghatag og usa ka mas tukmang tagna. Bisan pa niana, kini mibalik nga kini nga sumbanan dili-obserbahan sa mga kaso diin ang mga tidal ekspresyon nga sa artipisyal nga paagi, nga anaa sa usa ka mahait nga jump, nga mao, ang mga discontinuous. Sa panghitabo nga sa kasangkapan sa pagsulod data gikan sa usa ka lamesa sa panahon puntos, nagtinguha kini sa pipila Fourier coefficients. Sa pagpahiuli sa orihinal nga function tungod sa íkò component (sumala sa nakita nga coefficients). Ang kalainan tali sa orihinal ug sa mga gitukod pag-usab nga ekspresyon mahimong masukod sa bisan unsa nga punto. Sa diha nga ang pag-usab kalkulasyon ug mga pagtandi nga makita nga ang bili sa mga labing dako nga sayop nga wala pagkunhod. Apan, sila localized sa rehiyon nga katumbas sa sa punto sa busgak, ug sa bisan unsa nga lain nga mga punto tambong sa zero. Sa 1899, kini nga resulta gikumpirma sa teoriya Josue Willard Gibbs sa Yale University.

Convergence sa Fourier serye ug sa kalamboan sa matematika nga ingon sa usa ka bug-os nga

Fourier pagtuki dili magamit sa mga ekspresyon nga adunay sulod nga usa ka walay kinutuban nga gidaghanon sa mga pagdugang sa usa ka sal. Sa kinatibuk-ang Fourier sunod-sunod nga, kon ang orihinal nga function gihawasan sa resulta sa aktuwal nga pisikal nga mga pagsukod, sa kanunay converge. Mga pangutana sa convergence sa niini nga proseso alang sa piho nga mga klase sa mga gimbuhaton nga gipangulohan sa bag-ong mga sanga sa matematika, sama sa teoriya sa heneral nga gimbuhaton. Kini mao ang nakig-uban sa mga ngalan sama sa Schwartz, J .. Mikusiński ug J. Templo. Ubos teoriya niini, ang usa ka tin-aw ug tukma theoretical nga basehan alang sa maong ekspresyon nga malig-on sa ingon nga ang mga Dirac delta function (kini naghulagway sa rehiyon sa usa ka dapit, tingub sa usa ka labihan kasilinganan sa punto) ug "lakang" Heaviside. Pinaagi sa niini nga buhat Fourier serye nahimong magamit alang sa pagsulbad sa mga pagbalanse ug mga problema, nga naglakip sa intuitive konsepto: punto katungdanan, punto masa, magnetic dipoles, ug ang tingub load sa pinutol nga kahoy.

Fourier pamaagi

Fourier serye, sumala sa mga baruganan sa pagpanghilabot, magsugod uban sa kadugta sa komplikado nga mga porma ngadto sa simple. Pananglitan, ang usa ka pagbag-o sa kainit dagan tungod sa iyang tudling pinaagi sa nagkalain-laing mga babag sa kainit insulating materyal nga sa dili regular porma o pag-usab sa yuta nga nawong - ang usa ka linog, ang usa ka kausaban sa pagbiyo sa celestial nga lawas - ang impluwensya sa mga planeta. Kasagaran, kini nga mga pagbalanse nga naghulagway sa yano nga klasikal nga sistema sa elementarya masulbad alang sa matag indibidwal nga wavelength. Fourier nagpakita nga yano nga solusyon masumaryo ingon sa mas komplikado nga mga buluhaton. Sa pinulongan sa matematika, Fourier sunod-sunod nga - sa usa ka pamaagi alang sa pagtugyan sa ekspresyon sa bili sa mahunihon - cosine ug sine balod. Busa, pagtuki niini nga nailhan usab ubos sa ngalan "mahunihon pagtuki".

Fourier sunod-sunod nga - ang usa ka sulundon nga nga paagi ngadto sa "computer edad"

Sa wala pa ang paglalang sa computer teknolohiya Fourier pamaagi mao ang labing maayo nga hinagiban sa arsenal sa mga siyentipiko nga nagtrabaho uban sa mga tinabyog sa kinaiyahan sa atong kalibutan. Fourier serye sa complex nga porma nagtugot kaninyo sa dili lamang sa pagsulbad sa yano nga mga problema nga uyon aron sa pagtultol sa paggamit sa Newton ni mga balaod sa mekaniko, apan usab ang mga sukaranan nga mga pagbalanse. Kadaghanan sa mga nadiskobrehan sa Newtonian siyensiya sa ikanapulo ug siyam nga siglo nahimong posible lamang tungod sa Fourier pamaagi.

Fourier sunod-sunod nga karon

Uban sa pagpalambo sa Fourier pagbag-o sa computer nga nabanhaw ngadto sa usa ka bag-o nga ang-ang. Kini nga paagi mao ang hugot nga entrenched sa halos sa tanan nga mga natad sa siyensiya ug teknolohiya. Ingon sa usa ka panig-ingnan, usa ka digital nga audio ug video. pagpatuman niini nga nahimong posible lamang pasalamat ngadto sa teoriya naugmad sa mga Pranses matematiko sa unang bahin sa ikanapulo ug siyam nga siglo. Busa, ang Fourier serye sa complex nga porma nga gitugotan sa paghimo sa usa ka breakthrough sa pagtuon sa gawas nga luna. Dugang pa, kini nakaapekto sa pagtuon sa mga pisika sa mga materyales semiconductor ug plasma, microwave ang lanog sa tingog, Oceanography, radar, seismology.

Trigonometric Fourier serye

Sa matematika, ang usa ka Fourier serye mao ang usa ka paagi sa nga nagrepresentar sa arbitraryong komplikado gimbuhaton sama sa sa usa ka igo nga gidaghanon sa simple. Sa kinatibuk-ang mga kaso, ang gidaghanon sa mga mga ekspresyon mahimong walay kinutuban. Ang mas dako ang gidaghanon giisip sa pagtantiya, pagbanabana, ang labaw nga tukma ang katapusan nga resulta mao nga nakuha. Ang labing komon nga paggamit sa yano nga trigonometric cosine o sine function. Sa kini nga kaso, ang Fourier serye gitawag trigonometric, ug ang desisyon sa maong mga ekspresyon - mahunihon madugta. Kini nga pamaagi may importante nga papel sa matematika. Una sa tanan, ang trigonometric serye naghatag og usa ka paagi alang sa larawan, ingon man sa pagtuon sa mga gimbuhaton, kini mao ang nag-unang yunit sa teoriya. Dugang pa, kini nagtugot kanato sa pagsulbad sa usa ka gidaghanon sa mga problema sa matematika pisika. Sa katapusan, kini nga teoriya nga nakaamot sa kalamboan sa matematika pagtuki, gihatag kini pagsaka ngadto sa usa ka gidaghanon sa importante kaayo nga mga sanga sa siyensiya sa matematika (teoriya sa integrals, ang teoriya sa matag gimbuhaton). Dugang pa, ang punto sa pagsugod alang sa kalamboan sa mga mosunod nga mga teoriya: sets, gimbuhaton sa usa ka tinuod nga baryable, functional pagtuki, ug usab sa pundasyon alang sa mahunihon pagtuki.