Boolean algebra. algebra sa katarungan. Mga elemento sa matematika katarungan

Sa kalibutan karon mas kita sa paggamit sa usa ka lainlaing matang sa mga makina ug gadgets. Ug dili lamang sa diha nga kini mao ang gikinahanglan nga sa paggamit sa literal labaw sa tawo nga kusog: mobalhin sa load sa pagmatuto niini ngadto sa gitas-on, pagkalot taas ug lawom nga kanal, ug uban pa mga sakyanan karon sa pagkolekta robot, pagkaon linuto Multivarki ug elementarya kalkulasyon aritmetik maghimo calculator ... More ug labaw pa sa kasagaran kita makadungog sa hugpong sa mga pulong "Boolean algebra". Tingali ang panahon miabut sa pagsabot sa papel sa mga tawo diha sa paglalang sa robot ug mga makina sa katakos sa pagsulbad sa dili lamang sa matematika, apan usab sa makataronganong mga problema.

katarungan

Sa Grego lohika - sa usa ka nagmando nga sistema sa hunahuna nga nagmugna sa relasyon tali sa mga gihatag nga mga kahimtang ug nagtugot kaninyo sa paghimo sa pagsabot base sa pagpakaingon ug pagbanabana. Kasagaran, kita mangutana sa usag usa: "Kini mao ang makataronganon nga" Ang tubag nagpamatuod sa atong mga panghunahuna o manaway sa tren sa hunahuna. Apan ang proseso wala mohunong didto: kita magpadayon nga makig-istorya.

Usahay ang gidaghanon sa mga kahimtang (input) mao ang dako kaayo, ug ang relasyon taliwala kanila mao ang sa ingon makalibog ug komplikado nga ang utok sa tawo dili makahimo sa "Digest" sa tanan sa makausa. Mahimo nga kinahanglan mo labaw pa kay sa usa ka bulan (semana, tuig) alang sa pagsabot sa unsa ang nahitabo. Apan sa modernong kinabuhi dili mohatag kanato niini nga mga lat-ang panahon sa paghimo og mga desisyon. Ug modangop kita sa tabang sa mga computer. Ug kini mao ang dinhi nga adunay usa ka algebra ug lohika, uban sa iyang mga balaod ug mga kabtangan. Human sa download sa tanan nga mga orihinal nga data, kita motugot sa computer sa pag-ila sa tanan nga mga relasyon, sa pagwagtang sa mga kontradiksyon ug sa pagpangita sa usa ka makatagbaw nga solusyon.

Mathematics ug sa katarungan

Bantog nga Gotfrid Vilgelm Leybnits formulated sa konsepto sa "matematika katarungan", nga mga buluhaton sa mga sayon nga masabtan lamang sa usa ka gamay nga sirkulo sa mga eskolar. Sa partikular nga interes ang direksyon nga wala hinungdan, ug sa tunga-tunga sa XIX siglo sa matematika katarungan nailhan sa pipila.

Ang dakung interes sa siyentipikanhong komunidad nga hinungdan sa usa ka panaglalis diin ang Ingles Dzhordzh Bul gipahayag ang iyang tuyo sa pagtukod sa usa ka sanga sa matematika, nga walay hingpit nga walay praktikal nga paggamit. Ingon nga kita nasayud gikan sa kasaysayan, sa niini nga panahon aktibo nga pagpalambo sa industriya sa produksyon, og kita sa tanan nga matang sa auxiliary nga mga makina, t. E. tanan siyentipikanhong mga kaplag may usa ka praktikal nga orientation.

Magtan-aw sa unahan, kita moingon nga ang usa ka Boolean algebra - ang labing gigamit sa kalibutan karon nga bahin sa matematika. Busa ang imong argumento Buhl nawala.

Dzhordzh Bul

Ang personalidad sa tagsulat takos espesyal nga pagtagad. Bisan gihatag sa kamatuoran nga sa milabay nga mga tawo mitubo sa atong atubangan, sa gihapon kini kinahanglan nga nakita nga sa 16 ka tuig ni Juan. Buhl nagtudlo sa sa balangay sa eskwelahan, ug sa 20 ka tuig giablihan ang iyang kaugalingon nga eskwelahan sa Lincoln. Matematiko hingpit master sa lima ka mga langyaw nga mga pinulongan, ug sa iyang libre nga panahon, sa pagbasa sa mga buhat sa Newton ug sa Lagrange. Ug kining tanan - sa anak nga lalake sa usa ka ordinaryo nga trabahante ni!

Sa 1839, Buhl nagpadala sa iyang unang siyentipikanhong mga papeles sa Cambridge Mathematical Journal. Scientist mibalik 24 ka tuig. ni Boole buhat mao interesado nga mga miyembro sa Royal Society, sa 1844 siya nakadawat og usa ka medalya alang sa iyang kontribusyon sa pagpalambo sa matematika pagtuki. Ang pipila nga gipatik mga papel diin ang mga elemento sa matematika lohika, matematika nagtugot sa mga batan-on sa pagkuha sa mga post sa propesor sa College sa Duul County gihulagway. Hinumdomi nga sa kaayo nga Boole edukasyon dili.

ideya

Sa baruganan, Boolean algebra mao ang kaayo yano. Adunay mga mga pahayag (makataronganon nga mga ekspresyon) nga, gikan sa punto sa panglantaw sa matematika, mahimo lamang nga kahulugan sa duha ka mga pulong: "tinuod" o "bakak nga mga". Pananglitan, ang mga kahoy sa tingpamulak Bloom - ang kamatuoran, sa ting-init sa nieve - sa usa ka bakak. Ang katahum sa matematika mao nga kini mao ang dili hugot nga gikinahanglan sa paggamit sa lamang sa mga numero. Kay ang algebra paghukom na mohaum sa bisan unsa nga mga pamahayag uban sa talagsaon nga kahulugan.

Busa, ang sa algebra sa katarungan mahimong gigamit sa literal bisan asa: diha sa scheduling ug pagsulat pahamatngon, pagtuki sa nagkasumpaki nga impormasyon mahitungod sa mga panghitabo ug sa determinasyon sa mga han-ay sa mga buhat. Ang labing importante nga butang - sa pagkaamgo nga kini dili igsapayan kon sa unsang paagi nga kita sa pagtino sa kamatuoran o pagkabakak sa mga pahayag. Gikan niini nga mga "kon sa unsang paagi" ug "ngano" nga kamo kinahanglan nga sa dili. Unsa ang importante mao lamang ang usa ka pamahayag sa kamatuoran: ang kamatuoran mao ang usa ka bakak.

Siyempre, programming sa labing importante nga gimbuhaton sa algebra sa lohika nga natala uban sa tukma nga mga ilhanan ug mga simbolo. Ug makakat-on sila - kini nagpasabot sa pagkat-on sa usa ka bag-o nga langyaw nga pinulongan. Walay imposible.

Basic konsepto ug kahulugan

Kon wala na ngadto sa kahiladman, kita-atubang sa terminolohiya. Busa, Boolean algebra nagpasabot nang daan:

• mga pahayag;
• makataronganon operasyon;
• gimbuhaton ug mga balaod.

Mga pamahayag - sa bisan unsa nga positibo nga ekspresyon nga mahimong hubaron sa duha ka-bili. Sila nahisulat ingon nga mga numero (5> 3) o formulated pamilyar nga mga pulong (elepante - ang kinadak-ang sus-an). Sa kini nga kaso, ang hugpong sa mga pulong "liog sa giraffe dili" adunay usa usab ka katungod sa anaa, lamang Boolean algebra nagpaila niini ingon nga "usa ka bakak."

Ang tanan nga mga pamahayag kinahanglan nga tin-awng, apan sila mahimo nga nag-unang mga o compound. Bag-o nga paggamit sa lohikal putos. E. Sa algebra mga pamahayag paghukom compound nag-umol sa mga Dugang pa sa elementarya operasyon katarungan.

Boolean operasyon sa algebra

Kita na hinumduman nga ang mga operasyon sa algebra sa paghukom - makataronganon. Sama nga ang algebra sa mga numero sa paggamit sa aritmetik operasyon aron sa pagdugang, kuhaan, o sa pagtandi sa mga numero, matematika elemento katarungan sa pagtugot sa paghimo sa komplikado nga mga pahayag, sa paglimud o sa kuwentahon ang katapusan nga resulta.

Katarungan operasyon alang sa pormal ug sa kayano nga gipahayag sa pormula, pamilyar kanato sa aritmetik. Kabtangan sa Boolean algebra pagbalanse sa paghimo niini nga posible nga sa pagrekord ug kuwentahon ang wala mailhi. Makataronganon operasyon kasagaran natala sa lamesa sa kamatuoran. mga elemento niini kahulugan haligi ug Computing operasyon nga gihimo sa ibabaw niini, ug ang mga laray nga gihulma sa pagpakita sa resulta sa kalkulasyon.

Basic katarungan sa aksyon

Ang labing komon nga diha sa Boolean operasyon sa algebra mga supak (DILI), ug ang makataronganon UG ug O. Busa kini mao ang posible nga sa paghulagway sa halos tanan nga mga lakang sa algebra paghukom. Kita nagtuon sa detalye sa matag usa sa tulo ka mga operasyon.

Ang supak (dili) gipadapat sa usa lamang ka elemento (operand). Busa, ang operasyon mao ang gitawag nga usa ka unary supak. Sa pagrekord sa mga konsepto sa "dili usa ka" sa paggamit sa maong mga simbolo: ¬A, A o usa ka !. Sa tabular porma kini tan-awon sama niini:

Ang function sa pagdumili tipikal nga sa maong usa ka pamahayag: kon usa ka tinuod, nan usa ka - bakak. Kay sa panig-ingnan, ang bulan nagtuyok palibot sa Yuta - ang kamatuoran; Yuta nagtuyok palibot sa bulan - sa usa ka bakak.

Makataronganon multiplication ug dugang

Makataronganon UG operasyon mao ang gitawag nga usa ka conjunction. Unsay kahulogan niini? Una, nga kini mahimong apply ngadto sa duha ka operands, ie, ako - .. duha operasyon. Ikaduha, kini mao ang lamang sa kaso sa kamatuoran sa duha operands (ang duha A ug B) ang tinuod ug ang ekspresyon sa iyang kaugalingon. Ang proverbio, "pailub ug sa usa ka gamay nga paningkamot" nagpasabot nga duha lamang ka butang ang makatabang sa usa ka tawo sa pagsagubang sa mga kalisdanan.

simbolo nga gigamit alang sa recording: A∧B, A⋅B o usa ka && B.

Inubanan mao ang susama sa pagpadaghan sa aritmetik. Usahay ug moingon - lohikal pagpadaghan. Kon kamo padaghanon ko ang mga elemento sa mga laray nga gihulma sa mga lamesa, kita sa usa ka resulta susama sa makatarunganon nga panghunahuna.

Disjunction mao ang usa ka makatarunganon nga O operasyon. Kini mao ang TINUOD kon sa labing menos usa sa mga pahayag tinuod (bisan hain A o B). Kini nahisulat sa ingon niini: A∨B, A + B o usa ka || B. ang kamatuoran lamesa alang niini nga mga operasyon mao ang:

Disjunction susama nga aritmetik Dugang pa. makataronganon Dugang pa nga operasyon adunay usa lamang ka pagdili: 1 + 1 = 1. Apan atong hinumduman nga diha sa usa ka digital format limitado ngadto sa matematika katarungan 0 ug 1 (diin 1 - ang kamatuoran, 0 - bakak nga mga). Kay sa panig-ingnan, ang pamahayag nga "diha sa museyo nga imong mahimo tan-awa ang usa ka obra maestra o pagpangita sa usa ka maayo nga kompanya" nagpasabot sa unsa ang imong mahimo tan-awa ang mga buhat sa arte, ug kini mao ang posible nga sa pagsugat sa usa ka makapaikag nga tawo. Sa samang panahon, dili magmando sa posibilidad sa dungan nga katumanan sa duha mga panghitabo.

Gimbuhaton ug mga balaod

Busa, kita nasayud na kon unsa ang lohikal nga operasyon sa paggamit sa Boolean algebra. Katungdanan sa paghulagway sa tanan nga mga kabtangan sa mga elemento sa matematika lohika, ug motugot kanato sa pagpayano sa komplikado compound mga pahayag. Ang labing tin-aw ug yano daw pagsalikway kabtangan sa mga operasyon naggumikan. Pinaagi sa mga naggumikan masabtan XOR, implikasyon ug nga panagtandi. Sama sa atong mabasa lamang sa nag-unang mga operasyon, ug dayon ang mga kabtangan mao usab lamang palandunga kanila.

Associativity nagpasabot nga sa mga pahayag sama sa "ang duha A ug B, ug B 'han-ay listahan sa mga operands dili igsapayan. pormula sa nahisulat ingon sa mosunod:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Samtang kamo mahimo tan-awa, kini dili mao talagsaon sa panugtong apan usa ka disjunction.

Commutativity lantugi nga ang resulta sa panugtong o disjunction wala magdepende sa nga butang giisip sa sinugdan:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity nagtugot magpadayag bracket sa komplikado makataronganon nga mga ekspresyon. Mga lagda sama sa pag-abli sál-ot sa multiplication ug dugang sa algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

kabtangan Unit ug nagaras, nga mahimong usa sa mga operands mga susama sa algebra multiplication sa zero o usa, ug Dugang pa sa usa ka yunit usab:

A∧0 = 0, A∧1 = Usa ka; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency nagsulti kanato nga kon medyo duha ka managsama nga operands ang resulta sa operasyon mao ang sama nga, nga kamo mahimo "paglabay" sa sobra nga complicate pangatarungan operands. Ug ang conjunction ug disjunction operasyon mao ang mga idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Angkon nagtugot usab kanato sa pagpayano sa sa talaid. Pagsuyup nag-ingon nga sa diha nga ang ekspresyon nga gigamit sa usa ka operand, laing operasyon uban sa sama nga elemento sa resulta operand ang absorbing operasyon.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

ay sa operasyon

Ang han-ay sa operasyon mao ang sa dako nga importansya. Sa pagkatinuod, ingon nga alang sa algebra, adunay usa ka prayoridad function nga gigamit sa usa ka Boolean algebra. Pormula mahimong simple nga hilisgutan lamang sa kahulogan sa operasyon. Ranggo sa labing mahinungdanon sa negligible, kita makabaton sa mosunod nga han-ay:

1. Paglimod.

2. inubanan.

3. Ang disjunction, XOR.

4. implikasyon Ang, pagtugbang.

Samtang kamo mahimo tan-awa, lamang sa supak sa panugtong ug dili patas nga prayoridad. Usa ka prayoridad sa disjunction ug XOR managsama, ingon man sa mga prayoridad sa implikasyon ug nga panagtandi.

Gimbuhaton sa implikasyon ug nga panagtandi

Sama sa among giingon, dugang pa sa mga nag-unang mga makataronganon operasyon, matematika lohika ug teoriya sa algorithms sa paggamit sa mga naggumikan. Kini mao ang labing kanunay nga ang implikasyon ug nga panagtandi.

Ang implikasyon o makataronganon sangputanan - niini nga pamahayag, diin ang usa ka aksyon mao ang usa ka kahimtang, ug ang uban nga mga - ang resulta sa pagpatuman niini. Sa laing mga pulong, kini nga proposal sa pasangil sa "kon ... dayon". "Human sa panihapon moabut ang ihap." E. Kay nagmaneho nga tightened sa balsa bungtod. Kon walay tinguha sa paglihok gikan sa bukid, ug unya guyoron sa balsa dili kinahanglan. Nahisulat sa ingon: Usa ka → B o A⇒B.

Nga panagtandi nagpasabot nga ang mga pukot nga epekto mahitabo lamang kon ang duha operands mga tinuod. Pananglitan, sa gabii naghatag paagi sa adlaw unya (ug lamang unya), sa diha nga ang adlaw mosubang sa ibabaw sa kapunawpunawan. Sa pinulongan sa matematika katarungan sa niini nga pamahayag nahisulat ingon nga A≡B, A⇔B, Usa ka == B.

Ang ubang mga balaod sa Boolean algebra

Algebra paghukom og, ug daghan ang interesado siyentipiko sa pagmugna sa bag-ong mga balaod. Ang labing inila nga giisip nga postulates Scottish matematisyan O. De Morgan. nakamatikod siya ug mihatag sa usa ka kahulogan sa maong mga kabtangan sama sa suod nga supak, Dugang pa ug double negatibo.

Close paglimod nagsugyot nga sa wala pa ang sál-ot dili paglimud: dili (A o B) = dili A o B. DILI

Sa diha nga ang operand ang gilimod, bisan unsa sa iyang bili, ingon mahitungod sa Dugang pa:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Ug sa katapusan, ang double supak sa iyang kaugalingon mabawi. ie sa atubangan sa bisan operand supak mahanaw o nagpabilin nga usa lamang.

Sa unsa nga paagi sa pagsulbad sa mga pagsulay

Pangatarungan nagpasabot simplification gitino nang daan pagbalanse. sama lang sa Bakak sa algebra, kini mao ang gikinahanglan nga sa maximally pagpahigayon sa unang kahimtang (sa pagkuha Isalikway sa komplikadong mga operasyon input, ug uban kanila), unya magsugod sa pagtan-aw alang sa usa ka husto nga tubag.

Unsa ang sa pagbuhat sa simple? Kinabig sa tanan nga mga naggumikan sa usa ka yano nga operasyon. Unya sa pagbukas sa tanan nga mga bracket (o vice versa, aron sa paghimo sa bracket sa pagpakunhod niini nga elemento). Ang sunod nga lakang kinahanglan nga sa paggamit sa Boolean algebra kabtangan diha sa buhat (pagsuyup kabtangan zero ug usa, ug sa t.).

Sa katapusan, sa talaid kinahanglan nga naglangkob sa usa ka minimum nga gidaghanon sa mga unknowns, inubanan sa yano nga operasyon. Ang kinasayonan nga paagi sa pagtan-aw alang sa usa ka solusyon, kon ang usa ka dako nga gidaghanon sa mga suod nga negatives. Unya ang tubag pop ingon nga kon sa iyang kaugalingon.